ارشمیدوس

ریاضیات
در حالی که او اغلب به عنوان طراح دستگاه های مکانیکی در نظر گرفته می شود، ارشمیدس نیز در زمینه ریاضیات مشارکت داشت. پلوتارک نوشت که ارشمیدس "تمام محبت و جاه طلبی خود را در آن گمانه زنی های ناب تری قرار داد که در آن هیچ اشاره ای به نیازهای مبتذل زندگی وجود ندارد"[28]، اگرچه برخی از محققان معتقدند که این ممکن است یک توصیف نادرست باشد.
روش فرسودگی

انجام پروژه های متلب انجام پروژه متلب پروژه های متلب

ارشمیدس ضلع 12 ضلعی را از ضلع شش ضلعی و برای هر دو برابر شدن بعدی اضلاع چند ضلعی منظم محاسبه می کند.
ارشمیدس قادر به استفاده از غیرقابل‌تقسیم‌کننده‌ها (پیش‌موجودی برای بی‌نهایت‌ها) بود به‌گونه‌ای که شبیه حساب انتگرال مدرن است. از طریق اثبات با تناقض (reductio ad absurdum)، او می‌توانست با دقت دلخواه به مسائل پاسخ دهد و در عین حال محدودیت‌هایی را که پاسخ در آن قرار دارد را مشخص کند. این تکنیک به روش فرسودگی معروف است و او از آن برای تقریب مساحت ارقام و مقدار π استفاده کرد.

در اندازه گیری یک دایره، او این کار را با کشیدن یک شش ضلعی منتظم بزرگتر در خارج از یک دایره و سپس یک شش ضلعی منتظم کوچکتر در داخل دایره انجام داد، و به تدریج تعداد اضلاع هر چند ضلعی منتظم را دو برابر کرد و طول یک ضلع از هر چند ضلعی را در هر یک محاسبه کرد. گام. با افزایش تعداد اضلاع، تقریب دقیق تری از یک دایره می شود. پس از چهار مرحله از این قبیل، زمانی که چند ضلعی ها هر کدام 96 ضلع داشتند، او توانست تعیین کند که مقدار π بین 3 قرار دارد.
1
/
7
(تقریباً 3.1429) و 3
10
/
71
(تقریباً 3.1408)، مطابق با ارزش واقعی آن تقریباً 3.1416. او همچنین ثابت کرد که مساحت یک دایره برابر است با π ضرب در مربع شعاع دایره ({textstyle pi r^{2}}{textstyle pi r^{2}}).

دارایی ارشمیدسی
در کتاب On the Sphere and Cylinder، ارشمیدس فرض می کند که هر قدری که به اندازه کافی به خودش اضافه شود از هر قدر معینی بیشتر خواهد شد. امروزه این به عنوان خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی شناخته می شود.

ارشمیدس مقدار جذر 3 را در بین قرار می دهد
265
/
153
(تقریباً 1.7320261) و
1351
/
780
(تقریباً 1.7320512) در اندازه گیری یک دایره. مقدار واقعی تقریباً 1.7320508 است که این یک تخمین بسیار دقیق است. او این نتیجه را بدون ارائه هیچ توضیحی در مورد چگونگی به دست آوردن آن معرفی کرد. این جنبه از کار ارشمیدس باعث شد که جان والیس متذکر شود که او چنین است: "به عنوان هدف اصلی این بود که ردپای تحقیقات خود را پنهان کند، گویی راز روش تحقیق خود را از آیندگان خشمگین کرده بود در حالی که می خواست اخاذی کند.  این امکان وجود دارد که او از یک روش تکراری برای محاسبه این مقادیر استفاده کرده باشد.

سری بی نهایت

دلیلی بر این که مساحت قطعه سهموی در شکل بالایی برابر با 4/3 مثلث محاطی شده در شکل پایینی از Quadrature of Parabolaاست.
ارشمیدس در ربع سهمی ثابت کرد که ناحیه محصور شده توسط یک سهمی و یک خط مستقیم است.
4
/
3
برابر مساحت یک مثلث محاطی مربوطه همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است. او راه حل مسئله را به صورت یک سری هندسی نامتناهی با نسبت مشترک بیان کرد
1
/
4
:

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+cdots ={ 4 بیش از 3}.;}sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3 }+cdots ={4 over 3}.;
اگر اولین جمله در این سری مساحت مثلث باشد، دومی مجموع مساحت دو مثلث است که پایه های آنها دو خط تقاطع کوچکتر است و راس سوم آن جایی است که خط موازی با محور سهمی است. و که از نقطه وسط قاعده عبور می کند سهمی را قطع می کند و غیره. این اثبات از تغییری از سری 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · استفاده می کند که مجموع آنها به
1
/
3
.

هزاران هزار
ارشمیدس در The Sand Reckoner تصمیم گرفت تعداد دانه های شنی را که جهان می تواند در خود داشته باشد محاسبه کند. با انجام این کار، او این تصور را به چالش کشید که تعداد دانه های شن بیش از حد بزرگ است که قابل شمارش نیست. او نوشت:

برخی هستند، شاه ژلو (Gelo II، پسر Hiero II)، که فکر می کنند تعداد ماسه ها بی نهایت است. و منظور من از شن نه تنها آن چیزی است که در سیراکوز و بقیه سیسیل وجود دارد، بلکه در هر منطقه ای اعم از مسکونی یا غیرمسکونی یافت می شود.

سایت دورکاری سایت فریلنسری کار آنلاین

برای حل این مشکل، ارشمیدس سیستمی برای شمارش بر اساس تعداد بی شمار ابداع کرد. خود این کلمه از یونانی μυριάς، murias، برای عدد 10000 گرفته شده است. او یک سیستم اعداد را با استفاده از قدرت‌های هزاران بی‌شمار (100 میلیون، یعنی 10000×10000) پیشنهاد کرد و نتیجه گرفت که تعداد دانه‌های شن مورد نیاز برای پر کردن جهان 8 ویگینتیلیون یا 8×1063 خواهد بود.

پنجه ارشمیدس
پنجه ارشمیدس سلاحی است که گفته می شود او برای دفاع از شهر سیراکوز طراحی کرده است. این پنجه که به عنوان "کشتی تکان دهنده" نیز شناخته می شود از یک بازوی جرثقیل مانند تشکیل شده بود که یک قلاب فلزی بزرگ از آن آویزان بود. هنگامی که پنجه روی یک کشتی مهاجم انداخته می شد، بازو به سمت بالا می چرخید و کشتی را از آب خارج می کرد و احتمالاً آن را غرق می کرد. آزمایش‌های مدرنی برای آزمایش امکان‌پذیری پنجه انجام شده است، و در سال 2005 یک مستند تلویزیونی با عنوان ابرسلاح‌های دنیای باستان نسخه‌ای از پنجه را ساخت و به این نتیجه رسید که این یک وسیله کارآمد است.

اشعه حرارتی

ارشمیدس ممکن است از آینه هایی استفاده کرده باشد که به طور جمعی به عنوان یک بازتابنده سهموی برای سوزاندن کشتی های حمله کننده به سیراکوز عمل می کنند.
ارشمیدس ممکن است از آینه هایی استفاده کرده باشد که به طور جمعی به عنوان یک بازتابنده سهموی برای سوزاندن کشتی های حمله کننده به سیراکوز عمل می کنند. لوسیان نویسنده قرن دوم نوشت که در طی محاصره سیراکوز (حدود 214–212 قبل از میلاد)، ارشمیدس کشتی های دشمن را با آتش نابود کرد. قرن ها بعد، Anthemius of Tralles از شیشه های سوزان به عنوان سلاح ارشمیدس یاد می کند.[43] این وسیله که گاهی «اشعه حرارتی ارشمیدس» نامیده می‌شود، برای متمرکز کردن نور خورشید بر روی کشتی‌هایی که در حال نزدیک شدن بودند استفاده می‌شد و باعث آتش گرفتن آنها می‌شد. در دوران مدرن، دستگاه‌های مشابهی ساخته شده‌اند که می‌توان از آن‌ها به عنوان هلیوستات یا کوره خورشیدی یاد کرد.

این سلاح ادعا شده از زمان رنسانس موضوع بحث های جاری در مورد اعتبار آن بوده است. رنه دکارت آن را به‌عنوان نادرست رد کرد، در حالی که محققان مدرن سعی کرده‌اند این اثر را تنها با استفاده از ابزارهایی که در دسترس ارشمیدس بود بازسازی کنند. پیشنهاد شده است که مجموعه بزرگی از سپرهای برنزی یا مسی بسیار صیقلی که به عنوان آینه عمل می کنند می توانند برای متمرکز کردن نور خورشید بر روی یک کشتی استفاده شوند.

اهرم
در حالی که ارشمیدس اهرم را اختراع نکرد، او یک اثبات ریاضی از اصل دخیل در کارش در مورد تعادل هواپیماها ارائه کرد. توصیفات پیشین اهرم در مکتب مشاء پیروان ارسطو یافت می شود و گاه به آرکیتاس نسبت داده می شود. چندین گزارش، اغلب متناقض، در مورد شاهکارهای ارشمیدس با استفاده از اهرم برای بلند کردن اجسام بسیار سنگین وجود دارد. پلوتارک توضیح می‌دهد که چگونه ارشمیدس سیستم‌های قرقره بلوک و تکل را طراحی کرد، که به ملوانان اجازه می‌دهد از اصل اهرم برای بلند کردن اجسامی استفاده کنند که در غیر این صورت برای حرکت خیلی سنگین بودند.به گفته پاپوس اسکندریه، کار ارشمیدس بر روی اهرم ها باعث شد که او متذکر شود: «به من جایی بدهید که روی آن بایستم تا زمین را حرکت دهم» (به یونانی: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).[50] Olympiodorus بعدها همین افتخار را به اختراع ارشمیدس از baroul*******، نوعی بادگیر، به جای اهرم نسبت داد.

ارشمیدس همچنین به دلیل بهبود قدرت و دقت منجنیق و اختراع کیلومترشمار در طول اولین جنگ پونیک اعتبار داشته است. کیلومتر شمار به عنوان یک گاری با مکانیزم چرخ دنده ای توصیف می شد که پس از طی هر مایل، یک توپ را در ظرفی می انداخت.

ابزارهای نجومی
ارشمیدس اندازه‌گیری‌های نجومی زمین، خورشید و ماه و همچنین مدل اریستارخوس از جهان را در زمین‌های خورشید مرکزی در Sand-Reckoner مورد بحث قرار می‌دهد. علیرغم فقدان مثلثات و جدول آکوردها، ارشمیدس روش و ابزار مورد استفاده برای انجام مشاهدات را توصیف می کند (یک میله مستقیم با میخ یا شیار)،  فاکتورهای اصلاحی را برای این اندازه گیری ها اعمال می کند و در نهایت نتیجه را در شکل کرانهای بالا و پایین برای محاسبه خطای مشاهده. بطلمیوس، به نقل از هیپارخوس، همچنین به مشاهدات انقلاب ارشمیدس در Almagest اشاره می کند. این امر ارشمیدس را به اولین یونانی شناخته شده تبدیل می کند که چندین تاریخ و زمان انقلاب را در سال های متوالی ثبت کرده است.

سیسرو به طور خلاصه از ارشمیدس در گفتگوی خود به نام De re publica یاد می کند که گفت و گوی تخیلی را در 129 قبل از میلاد به تصویر می کشد. پس از تصرف سیراکوز ج. در سال 212 قبل از میلاد، ژنرال مارکوس کلودیوس مارسلوس دو مکانیسم را که توسط ارشمیدس ساخته شده بود و به عنوان کمکی در نجوم استفاده می شد، به رم بازگرداند که حرکت خورشید، ماه و پنج سیاره را نشان می داد. سیسرو مکانیسم های مشابهی را که توسط تالس از میلتوس و ائودکسوس از کنیدوس طراحی شده اند ذکر می کند. دیالوگ می گوید که مارسلوس یکی از وسایل را به عنوان تنها غارت شخصی خود از سیراکوز نگه داشت و دیگری را به معبد فضیلت در رم اهدا کرد. مکانیسم مارسلوس، طبق گفته سیسرون، توسط گایوس سولپیسیوس گالوس به لوسیوس فوریوس فیلوس نشان داده شد، که آن را اینگونه توصیف کرد:
Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam eam ecum eamsetum .

هنگامی که گالوس کره زمین را به حرکت درآورد، این اتفاق افتاد که ماه به همان اندازه که در خود آسمان، به دنبال خورشید در آن تدبیر برنزی حرکت کرد، از آنجا نیز در آسمان، کره خورشید همان گرفت را داشت، و ماه پس از آن به موقعیتی که سایه آن بر روی زمین زمانی که خورشید در یک خط قرار داشت.

این توصیفی از یک افلاک نما یا اوری است. پاپوس اسکندریه اظهار داشت که ارشمیدس یک نسخه خطی (اکنون گم شده) در مورد ساخت این سازوکارها با عنوان درباره کره سازی نوشته بود. تحقیقات مدرن در این زمینه بر روی مکانیسم Antikythera متمرکز شده است، دستگاه دیگری که ساخته شده است. 100 سال قبل از میلاد که احتمالاً برای همین هدف طراحی شده است. ساخت مکانیسم‌هایی از این دست به دانش پیچیده‌ای از دنده‌های دیفرانسیل نیاز داشت. زمانی تصور می شد که این فراتر از محدوده فناوری موجود در دوران باستان بوده است، اما کشف مکانیسم Antikythera در سال 1902 تأیید کرد که دستگاه هایی از این نوع برای یونانیان باستان شناخته شده بودند.

اکتشافات و اختراعات
اصل ارشمیدس
مقاله اصلی: اصل ارشمیدس
فایل:03. Реакциска сила نزد архимедовиот قانون.ogv
یک میله فلزی که در یک ظرف آب روی ترازو قرار می گیرد، به اندازه حجم خودش آب را جابجا می کند و جرم محتویات ظرف را افزایش می دهد و ترازو را سنگین می کند.
شناخته شده ترین حکایت در مورد ارشمیدس می گوید که چگونه او روشی را برای تعیین حجم یک جسم با شکل نامنظم اختراع کرد. به گفته ویتروویوس، یک تاج نذری برای یک معبد برای شاه هیرو دوم سیراکوز ساخته شده بود، که طلای خالص را برای استفاده تهیه کرده بود. از ارشمیدس خواسته شد تا تعیین کند که آیا مقداری نقره توسط زرگر نادرست جایگزین شده است یا خیر.ارشمیدس مجبور شد مشکل را بدون آسیب رساندن به تاج حل کند، بنابراین نمی‌توانست آن را ذوب کرده و به شکل منظمی در بیاورد تا چگالی آن را محاسبه کند.

در روایت ویتروویوس، ارشمیدس هنگام حمام کردن متوجه شد که سطح آب وان با ورود به داخل وان بالا می‌رود و متوجه شد که می‌توان از این اثر برای تعیین حجم تاج استفاده کرد. برای اهداف عملی، آب تراکم ناپذیر است،  بنابراین تاج غوطه ور می تواند مقداری از آب را به اندازه حجم خود جابجا کند. با تقسیم جرم تاج بر حجم آب جابجا شده، می توان چگالی تاج را به دست آورد. اگر فلزات ارزان تر و چگالی کمتری به آن اضافه می شد، این چگالی کمتر از طلا بود. ارشمیدس سپس برهنه به خیابان ها رفت، آنقدر از کشف خود هیجان زده بود که فراموش کرده بود لباس بپوشد و فریاد "اورکا!" (به یونانی: «εὕρηκα, heúrēka!، lit.''I have find [آن را]!'). آزمایش روی تاج با موفقیت انجام شد و ثابت کرد که نقره واقعاً با آن مخلوط شده است.

داستان تاج طلایی در هیچ کجای آثار شناخته شده ارشمیدس دیده نمی شود. عملی بودن روشی که توصیف می‌کند به دلیل دقت فوق‌العاده‌ای که هنگام اندازه‌گیری جابجایی آب مورد نیاز است، زیر سؤال رفته است. ممکن است ارشمیدس در عوض به دنبال راه حلی بوده باشد که از اصل شناخته شده در هیدرواستاتیک به عنوان اصل ارشمیدس استفاده کند، که او در رساله خود درباره اجسام شناور توضیح می دهد. این اصل بیان می کند که جسمی که در یک سیال غوطه ور می شود، نیروی شناوری برابر با وزن سیالی را که جابجا می کند، تجربه می کند. با استفاده از این اصل، می‌توان چگالی تاج را با طلای خالص با متعادل کردن تاج بر روی یک ترازو با نمونه مرجع طلای خالص با همان وزن و سپس فرو بردن دستگاه در آب، مقایسه کرد. تفاوت در چگالی بین دو نمونه باعث می‌شود که ترازو بر این اساس خم شود.گالیله گالیله که در سال 1586 با الهام از کار ارشمیدس یک ترازوی هیدرواستاتیکی را برای وزن کردن فلزات در هوا و آب اختراع کرد، "احتمال دارد که این روش همان روشی باشد که ارشمیدس دنبال کرده است، زیرا علاوه بر دقیق بودن، مبتنی بر نمایش است. توسط خود ارشمیدس پیدا شد.»

پیچ ارشمیدس
نوشتار اصلی: پیچ ارشمیدس

پیچ ارشمیدس می تواند آب را به طور موثر بالا بیاورد.
بخش بزرگی از کار ارشمیدس در مهندسی احتمالاً از برآوردن نیازهای شهر زادگاهش سیراکوز ناشی شده است. نویسنده یونانی آتنائوس از ناوکراتیس توضیح داد که چگونه پادشاه هیرو دوم به ارشمیدس دستور داد تا یک کشتی بزرگ به نام سیراکوزیا طراحی کند که می تواند برای سفرهای مجلل، حمل تدارکات و به عنوان یک کشتی جنگی دریایی مورد استفاده قرار گیرد. گفته می شود که سیراکوزیا بزرگترین کشتی ساخته شده در دوران باستان بوده است. به گفته آتنائوس، توانایی حمل 600 نفر را داشت و شامل تزئینات باغ، سالن بدنسازی و معبدی بود که به الهه آفرودیت اختصاص داده شده بود. از آنجایی که یک کشتی با این اندازه مقدار قابل توجهی آب از بدنه آن نشت می کند، ظاهراً پیچ ارشمیدس به منظور حذف آب آبده ساخته شده است. دستگاه ارشمیدس وسیله ای بود با یک تیغه پیچی شکل گردان در داخل یک استوانه. با دست چرخانده می‌شد و همچنین می‌توانست برای انتقال آب از یک بدنه آبی کم ارتفاع به کانال‌های آبیاری استفاده شود. پیچ ارشمیدس هنوز هم امروزه برای پمپاژ مایعات و جامدات دانه بندی شده مانند زغال سنگ و دانه استفاده می شود. پیچ ارشمیدس که در دوران روم توسط ویتروویوس توصیف شد، ممکن است بهبودی در پمپ پیچی باشد که برای آبیاری باغ‌های معلق بابل استفاده می‌شد. اولین کشتی بخار دریایی جهان با ملخ پیچی، SS Archimedes بود که در سال 1839 به آب انداخته شد و به افتخار ارشمیدس و کار او بر روی پیچ نامگذاری شد.