یکشنبه ۰۴ اردیبهشت ۰۱ ۱۵:۱۷ ۵۳ بازديد
ریاضیات
در حالی که او اغلب به عنوان طراح دستگاه های مکانیکی در نظر گرفته می شود، ارشمیدس نیز در زمینه ریاضیات مشارکت داشت. پلوتارک نوشت که ارشمیدس "تمام محبت و جاه طلبی خود را در آن گمانه زنی های ناب تری قرار داد که در آن هیچ اشاره ای به نیازهای مبتذل زندگی وجود ندارد"[28]، اگرچه برخی از محققان معتقدند که این ممکن است یک توصیف نادرست باشد.
روش فرسودگی
انجام پروژه های متلب انجام پروژه متلب پروژه های متلب
ارشمیدس ضلع 12 ضلعی را از ضلع شش ضلعی و برای هر دو برابر شدن بعدی اضلاع چند ضلعی منظم محاسبه می کند.
ارشمیدس قادر به استفاده از غیرقابل‌تقسیم‌کننده‌ها (پیش‌موجودی برای بی‌نهایت‌ها) بود به‌گونه‌ای که شبیه حساب انتگرال مدرن است. از طریق اثبات با تناقض (reductio ad absurdum)، او می‌توانست با دقت دلخواه به مسائل پاسخ دهد و در عین حال محدودیت‌هایی را که پاسخ در آن قرار دارد را مشخص کند. این تکنیک به روش فرسودگی معروف است و او از آن برای تقریب مساحت ارقام و مقدار π استفاده کرد.
در اندازه گیری یک دایره، او این کار را با کشیدن یک شش ضلعی منتظم بزرگتر در خارج از یک دایره و سپس یک شش ضلعی منتظم کوچکتر در داخل دایره انجام داد، و به تدریج تعداد اضلاع هر چند ضلعی منتظم را دو برابر کرد و طول یک ضلع از هر چند ضلعی را در هر یک محاسبه کرد. گام. با افزایش تعداد اضلاع، تقریب دقیق تری از یک دایره می شود. پس از چهار مرحله از این قبیل، زمانی که چند ضلعی ها هر کدام 96 ضلع داشتند، او توانست تعیین کند که مقدار π بین 3 قرار دارد.
1
/
7
(تقریباً 3.1429) و 3
10
/
71
(تقریباً 3.1408)، مطابق با ارزش واقعی آن تقریباً 3.1416. او همچنین ثابت کرد که مساحت یک دایره برابر است با π ضرب در مربع شعاع دایره ({textstyle pi r^{2}}{textstyle pi r^{2}}).
دارایی ارشمیدسی
در کتاب On the Sphere and Cylinder، ارشمیدس فرض می کند که هر قدری که به اندازه کافی به خودش اضافه شود از هر قدر معینی بیشتر خواهد شد. امروزه این به عنوان خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی شناخته می شود.
ارشمیدس مقدار جذر 3 را در بین قرار می دهد
265
/
153
(تقریباً 1.7320261) و
1351
/
780
(تقریباً 1.7320512) در اندازه گیری یک دایره. مقدار واقعی تقریباً 1.7320508 است که این یک تخمین بسیار دقیق است. او این نتیجه را بدون ارائه هیچ توضیحی در مورد چگونگی به دست آوردن آن معرفی کرد. این جنبه از کار ارشمیدس باعث شد که جان والیس متذکر شود که او چنین است: "به عنوان هدف اصلی این بود که ردپای تحقیقات خود را پنهان کند، گویی راز روش تحقیق خود را از آیندگان خشمگین کرده بود در حالی که می خواست اخاذی کند. این امکان وجود دارد که او از یک روش تکراری برای محاسبه این مقادیر استفاده کرده باشد.
سری بی نهایت
دلیلی بر این که مساحت قطعه سهموی در شکل بالایی برابر با 4/3 مثلث محاطی شده در شکل پایینی از Quadrature of Parabolaاست.
ارشمیدس در ربع سهمی ثابت کرد که ناحیه محصور شده توسط یک سهمی و یک خط مستقیم است.
4
/
3
برابر مساحت یک مثلث محاطی مربوطه همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است. او راه حل مسئله را به صورت یک سری هندسی نامتناهی با نسبت مشترک بیان کرد
1
/
4
:
{displaystyle sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+cdots ={ 4 بیش از 3}.;}sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3 }+cdots ={4 over 3}.;
اگر اولین جمله در این سری مساحت مثلث باشد، دومی مجموع مساحت دو مثلث است که پایه های آنها دو خط تقاطع کوچکتر است و راس سوم آن جایی است که خط موازی با محور سهمی است. و که از نقطه وسط قاعده عبور می کند سهمی را قطع می کند و غیره. این اثبات از تغییری از سری 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · استفاده می کند که مجموع آنها به
1
/
3
.
هزاران هزار
ارشمیدس در The Sand Reckoner تصمیم گرفت تعداد دانه های شنی را که جهان می تواند در خود داشته باشد محاسبه کند. با انجام این کار، او این تصور را به چالش کشید که تعداد دانه های شن بیش از حد بزرگ است که قابل شمارش نیست. او نوشت:
برخی هستند، شاه ژلو (Gelo II، پسر Hiero II)، که فکر می کنند تعداد ماسه ها بی نهایت است. و منظور من از شن نه تنها آن چیزی است که در سیراکوز و بقیه سیسیل وجود دارد، بلکه در هر منطقه ای اعم از مسکونی یا غیرمسکونی یافت می شود.
سایت دورکاری سایت فریلنسری کار آنلاین
برای حل این مشکل، ارشمیدس سیستمی برای شمارش بر اساس تعداد بی شمار ابداع کرد. خود این کلمه از یونانی μυριάς، murias، برای عدد 10000 گرفته شده است. او یک سیستم اعداد را با استفاده از قدرت‌های هزاران بی‌شمار (100 میلیون، یعنی 10000×10000) پیشنهاد کرد و نتیجه گرفت که تعداد دانه‌های شن مورد نیاز برای پر کردن جهان 8 ویگینتیلیون یا 8×1063 خواهد بود.
در حالی که او اغلب به عنوان طراح دستگاه های مکانیکی در نظر گرفته می شود، ارشمیدس نیز در زمینه ریاضیات مشارکت داشت. پلوتارک نوشت که ارشمیدس "تمام محبت و جاه طلبی خود را در آن گمانه زنی های ناب تری قرار داد که در آن هیچ اشاره ای به نیازهای مبتذل زندگی وجود ندارد"[28]، اگرچه برخی از محققان معتقدند که این ممکن است یک توصیف نادرست باشد.
روش فرسودگی
انجام پروژه های متلب انجام پروژه متلب پروژه های متلب
ارشمیدس ضلع 12 ضلعی را از ضلع شش ضلعی و برای هر دو برابر شدن بعدی اضلاع چند ضلعی منظم محاسبه می کند.
ارشمیدس قادر به استفاده از غیرقابل‌تقسیم‌کننده‌ها (پیش‌موجودی برای بی‌نهایت‌ها) بود به‌گونه‌ای که شبیه حساب انتگرال مدرن است. از طریق اثبات با تناقض (reductio ad absurdum)، او می‌توانست با دقت دلخواه به مسائل پاسخ دهد و در عین حال محدودیت‌هایی را که پاسخ در آن قرار دارد را مشخص کند. این تکنیک به روش فرسودگی معروف است و او از آن برای تقریب مساحت ارقام و مقدار π استفاده کرد.
در اندازه گیری یک دایره، او این کار را با کشیدن یک شش ضلعی منتظم بزرگتر در خارج از یک دایره و سپس یک شش ضلعی منتظم کوچکتر در داخل دایره انجام داد، و به تدریج تعداد اضلاع هر چند ضلعی منتظم را دو برابر کرد و طول یک ضلع از هر چند ضلعی را در هر یک محاسبه کرد. گام. با افزایش تعداد اضلاع، تقریب دقیق تری از یک دایره می شود. پس از چهار مرحله از این قبیل، زمانی که چند ضلعی ها هر کدام 96 ضلع داشتند، او توانست تعیین کند که مقدار π بین 3 قرار دارد.
1
/
7
(تقریباً 3.1429) و 3
10
/
71
(تقریباً 3.1408)، مطابق با ارزش واقعی آن تقریباً 3.1416. او همچنین ثابت کرد که مساحت یک دایره برابر است با π ضرب در مربع شعاع دایره ({textstyle pi r^{2}}{textstyle pi r^{2}}).
دارایی ارشمیدسی
در کتاب On the Sphere and Cylinder، ارشمیدس فرض می کند که هر قدری که به اندازه کافی به خودش اضافه شود از هر قدر معینی بیشتر خواهد شد. امروزه این به عنوان خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی شناخته می شود.
ارشمیدس مقدار جذر 3 را در بین قرار می دهد
265
/
153
(تقریباً 1.7320261) و
1351
/
780
(تقریباً 1.7320512) در اندازه گیری یک دایره. مقدار واقعی تقریباً 1.7320508 است که این یک تخمین بسیار دقیق است. او این نتیجه را بدون ارائه هیچ توضیحی در مورد چگونگی به دست آوردن آن معرفی کرد. این جنبه از کار ارشمیدس باعث شد که جان والیس متذکر شود که او چنین است: "به عنوان هدف اصلی این بود که ردپای تحقیقات خود را پنهان کند، گویی راز روش تحقیق خود را از آیندگان خشمگین کرده بود در حالی که می خواست اخاذی کند. این امکان وجود دارد که او از یک روش تکراری برای محاسبه این مقادیر استفاده کرده باشد.
سری بی نهایت
دلیلی بر این که مساحت قطعه سهموی در شکل بالایی برابر با 4/3 مثلث محاطی شده در شکل پایینی از Quadrature of Parabolaاست.
ارشمیدس در ربع سهمی ثابت کرد که ناحیه محصور شده توسط یک سهمی و یک خط مستقیم است.
4
/
3
برابر مساحت یک مثلث محاطی مربوطه همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است. او راه حل مسئله را به صورت یک سری هندسی نامتناهی با نسبت مشترک بیان کرد
1
/
4
:
{displaystyle sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+cdots ={ 4 بیش از 3}.;}sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3 }+cdots ={4 over 3}.;
اگر اولین جمله در این سری مساحت مثلث باشد، دومی مجموع مساحت دو مثلث است که پایه های آنها دو خط تقاطع کوچکتر است و راس سوم آن جایی است که خط موازی با محور سهمی است. و که از نقطه وسط قاعده عبور می کند سهمی را قطع می کند و غیره. این اثبات از تغییری از سری 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · استفاده می کند که مجموع آنها به
1
/
3
.
هزاران هزار
ارشمیدس در The Sand Reckoner تصمیم گرفت تعداد دانه های شنی را که جهان می تواند در خود داشته باشد محاسبه کند. با انجام این کار، او این تصور را به چالش کشید که تعداد دانه های شن بیش از حد بزرگ است که قابل شمارش نیست. او نوشت:
برخی هستند، شاه ژلو (Gelo II، پسر Hiero II)، که فکر می کنند تعداد ماسه ها بی نهایت است. و منظور من از شن نه تنها آن چیزی است که در سیراکوز و بقیه سیسیل وجود دارد، بلکه در هر منطقه ای اعم از مسکونی یا غیرمسکونی یافت می شود.
سایت دورکاری سایت فریلنسری کار آنلاین
برای حل این مشکل، ارشمیدس سیستمی برای شمارش بر اساس تعداد بی شمار ابداع کرد. خود این کلمه از یونانی μυριάς، murias، برای عدد 10000 گرفته شده است. او یک سیستم اعداد را با استفاده از قدرت‌های هزاران بی‌شمار (100 میلیون، یعنی 10000×10000) پیشنهاد کرد و نتیجه گرفت که تعداد دانه‌های شن مورد نیاز برای پر کردن جهان 8 ویگینتیلیون یا 8×1063 خواهد بود.
- ۱ ۰
- ۰ نظر